The Number (french)

Essay by PaperNerd ContributorUniversity, Bachelor's September 2001

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Introduction Aujourd'hui je voudrais parler de l'évaluation de pi, probablement un des plus importants numéros dans les sciences. Avant de raconter l'histoire de ce chiffre et de son calcul, il est important d'apprendre quelques définitions simples que je vais utiliser: Définition 1 π, la 16ème lettre de l'alphabet grec, est utilisée pour représenter le rapport de la circonférence d'un cercle sur son diamètre.

Définition 2 Un chiffre rationnel est un chiffre qu'on peut écrire comme le rapport d'un nombre entier sur un autre nombre entier. Par exemple 0,75 est rationnel parce-qu'on peut écrire 0,75 comme le rapport de trois sur quatre : 0,75 = ¾ Mais la racine carrée de deux (√2) est irrationnelle parce qu'il n' y a aucun nombre entier a et b tel que le rapport de a sur b soit égal à la racine carrée de deux.

Définition 3 Le contra-positive de A Þ B est: B est faux Þ A est faux.

Prenons l'exemple de la vache. Si on a un animal à quatre pattes, on n'a pas nécessairement une vache, on peut avoir un chat par exemple ou un chien. Donc si la phrase A dit «cette animal est une vache» et la phrase B dit que «cette animal a quatre pattes, nous avons: A Þ B mais il n'est pas nécessairement vrai que B Þ A.

Néanmoins, il est certain que nous avons la formulation si B est faux Þ A est faux parce que si nous avons un animal qui n'a pas quatre pattes, il est donc évident que cet animal ne peut être une vache.

Une Histoire Brève de L'évaluation de π Le concepte d'évaluation de π est très difficile à comprendre. En effet, à l'école, les professeurs nous ont appris à accepter que π valait 3,14159"¦ Mais pour apprécier le travail des mathématiciens comme Archimède, il est important d'imaginer comment était la situation en l'an 2000 av. J.-C. Les mathématiciens de cette époque ne disaient pas «aujourd'hui je vais calculer la 3ème décimale de π» Ils ne savaient pas que π était un nombre infini. Par exemple les Égyptiens utilisent le chiffre 256/81, qui était 0,60% incorrecte. à le même époque les Babyloniens se rapprochaient de la valeur de π avec 25/81 qui n'était que 0,53% incorrecte. Pour la construction des structures et pour l'arpentage de la terre ces chiffres sont suffisamment précis. C'est alors que les grecques sont premièrs à vouloir poursuivre des recherches sur ce nombres si special, si inconnu et si utile pour en decouvrir l'origine.

Donc vers 430 av. J.-C. deux mathématiciens grecs, Antiphon et Bryson expriment clairement le principe d'épuisement: Si on a un cercle, il est possible de faire une approximation de la circonférence en divisant le cercle en polygones. Quand on a trouvé la longueur du circonférence et du diamètre on peut calculer le valeur de π. Par exemple: Nous avons dessiné un hexagone pour faire une approximation du cercle. Il est évident que si chaque coté de l'hexagone a une longueur de x cm donc le périmètre de cet hexagone est 6x, et nous pouvons faire l'approximation de la circonférence du cercle à 6x. En divisant ce chiffre par le diamètre de 2x on trouve que π = 3. Si on utilise un octogone, l'approximation sera plus précise, et si on utilise un dodécagone l'approximation sera encore plus précis, etc.

Dans le 3ème siècle av. J.-C. Archimède a utilisé un polygone avec 96 côtés pour déterminer que π était supérieur à 223/71 mais inferieur à 22/7.

En 1220 Fibonacci utilise π = 3138677/999000.

En 1593 Viète découvre le premier produit infini pour exprimer π.

En 1596 Van Ceulen utilise un polygone de 32 billions de côtés pour calculer les premières 32 décimales de π. 14 ans plus tard il a 35 décimales à son nom. Quand il est mort ces chiffres sont inscrite sur sa tombe. Malheureusement pour Van Ceulen, seulement 11 ans après son mort Snell, un mathématicien hollandais a trouvé une manière de calculer π encore plus rapide. Il a simplement utilise deux polygones au lieu d'un: Bien que Antiphon et Bryson aient déjà essayé de calculer π de cette manière, Snell était le premier qui a eu réussite avec ce principe.

En 1655, Wallis a decouvent son célèbre produit infini pour dériver π : La formule de Wallis: Bienque, Viète soit le premier mathematicien qui avait decouvent un produit infini: Wallis était le premier à trouver un produit infini pour exprimer pi sans réutiliser pi dans la formule.

Touts ces formulas sont pratiquement inutilisables avec les techniques de l'époque; aujourd'hui nous possédons les moyens très avancé comme les ordinateurs pour évaluer efficacement la valeur de π. Par exemple les premières 500 multiplications de la formula de Wallis donnent seulement deux décimales correctes. Mais quand les mathématiciens commence à utiliser des ordinateurs et apprendre á être informaticiens, ils commencent à calculer les décimales de pi très rapidement. Le nombre actuel de décimales de π est environs 52 billions mais l'observation prochaine nous demande pourquoi telle extrême précision est nécessaire? 39 décimales de π sufficent pour calculer la circonférence d'un cercle qui encerclerait l'univers connu avec seulement une erreur de l'ordre d'un rayon d'atome d'hydrogène.

Peut-être une des réponses a cette question est que le fait que l'on peut utiliser l'expression décimale de pi pour verifier la vitesse d'un ordinateur. Pour moi, le problème avec cette réponse est que ça fait seulement soixante ans que les ordinateurs ont été inventé et que la recherche pour le vrai valeur de π est encore plus loin que ça! Donc, pour ces mathématiciens d'avant la revolution des ordinateurs, la response est moins sur la calculation en elle-même mais plus sur le savoir et la compréhension du mystère de ce numéro. J'aime l'analogie de la quête pour la valeur de pi avec la montée de l'Everest: On le fait parce qu'il existe! Le preuve de Lambert que pi soit irrationnel Pendant des siecles, les mathématiciens ont supposé que pi était irrationnel, mais ils faut attendre jusqu'en 1761 pourvu que Lambert fasse une preuve plus rigoureuse. Sa démarche peut être resumé en quelques étapes: 1 Il a demontré que si x serait rationnel alors tan x (tangent ix) est irrationnel.

2 Le contra-positive de cette formulation est : si tan x était rationnel alors x serait irrationnel.

3 tan(π/4) est rationnel, donc π/4 doit être irrationel et en conséquence π est irrationnel.

Quelques mathématiciens n'étaient pas content avec cette preuve, mais en 1794 Legendre a formulé une autre preuve plus rigoureuse. Il a aussi demontré que π2 (pi carré) être rationnel. Mais si vous voulez un challenge, il y a toujours quelques numéros reste à prouver qu'ils sont rationnel, comme 2π, π + e et πe Le prochain pas qu'il faut faire c'est de démontrer que pi n'est pas être algébrique. Un noméro algébrique est un numéro qui peut être exprimé par un équation polynomiale avec des coéfficients entiers. Par exemple la racine carré de deux est algébrique parce qu'on peut exprimer la racine carré de deux par l'equation Aussi tous les numéros rationnels sont algébriques parce qu'on peut les exprimer par le rapport de a sur b, dans l'équation Néanmoins, pi n'était pas algebrique mais on le dit transcendental. La preuve de ceci était demontré par Lindemann en 1882, et il peut être resumé comme ça: 1 En 1873 Hermite, a demontré que le chiffre 2.71828"¦ (autrement appelé e) est transcendental. Ça veut dire que il n'y a aucune équation ou les coefficients a,b,"¦ et leurs puissances l,m,"¦ sont des numéros rationels.

2 Puis Lindemann a formulé un preuve plus générale que celle de Hermite. Il a demontré que en effet, les coefficients a,b,"¦ et leurs puissances l,m,"¦ ne sont pas algebriques.

3 Euler a déjà établi l'équation célèbre 4 Mais si on regarde cet equation avec plus attention on vais voir qu'il est un type de equation (A). Il faut seulement mettre a=1, l=iπ, b=1 et m=0.

5 Selon Lindemann les puissances l,m,"¦ ne sont pas algebriques, donc l=iπ n'est pas algebrique.

6 Comme i est la racine carrée de ""1 on le peut exprimer comme l'équation Donc i était algebrique et pi ne peut pas être algebrique, donc pi est transendental.