Introduction Aujourd'hui je voudrais parler de l'ÃÂévaluation de pi, probablement un des plus importants numÃÂéros dans les sciences. Avant de raconter l'histoire de ce chiffre et de son calcul, il est important d'apprendre quelques dÃÂéfinitions simples que je vais utiliser: DÃÂéfinition 1 π, la 16ÃÂème lettre de l'alphabet grec, est utilisÃÂée pour reprÃÂésenter le rapport de la circonfÃÂérence d'un cercle sur son diamÃÂètre.
DÃÂéfinition 2 Un chiffre rationnel est un chiffre qu'on peut ÃÂécrire comme le rapport d'un nombre entier sur un autre nombre entier. Par exemple 0,75 est rationnel parce-qu'on peut ÃÂécrire 0,75 comme le rapport de trois sur quatre : 0,75 = ÃÂþ Mais la racine carrÃÂée de deux (âÂÂ2) est irrationnelle parce qu'il n' y a aucun nombre entier a et b tel que le rapport de a sur b soit ÃÂégal àla racine carrÃÂée de deux.
DÃÂéfinition 3 Le contra-positive de A ÃÂà ¾ B est: B est faux ÃÂà ¾ A est faux.
Prenons l'exemple de la vache. Si on a un animal àquatre pattes, on n'a pas nÃÂécessairement une vache, on peut avoir un chat par exemple ou un chien. Donc si la phrase A dit ÃÂëcette animal est une vacheÃÂû et la phrase B dit que ÃÂëcette animal a quatre pattes, nous avons: A ÃÂà ¾ B mais il n'est pas nÃÂécessairement vrai que B ÃÂà ¾ A.
NÃÂéanmoins, il est certain que nous avons la formulation si B est faux ÃÂà ¾ A est faux parce que si nous avons un animal qui n'a pas quatre pattes, il est donc ÃÂévident que cet animal ne peut ÃÂêtre une vache.
Une Histoire BrÃÂève de L'ÃÂévaluation de π Le concepte d'ÃÂévaluation de π est trÃÂès difficile àcomprendre. En effet, àl'ÃÂécole, les professeurs nous ont appris àaccepter que π valait 3,14159"æ Mais pour apprÃÂécier le travail des mathÃÂématiciens comme ArchimÃÂède, il est important d'imaginer comment ÃÂétait la situation en l'an 2000 av. J.-C. Les mathÃÂématiciens de cette ÃÂépoque ne disaient pas ÃÂëaujourd'hui je vais calculer la 3ÃÂème dÃÂécimale de πÃÂû Ils ne savaient pas que π ÃÂétait un nombre infini. Par exemple les ÃÂâ°gyptiens utilisent le chiffre 256/81, qui ÃÂétait 0,60% incorrecte. àle mÃÂême ÃÂépoque les Babyloniens se rapprochaient de la valeur de π avec 25/81 qui n'ÃÂétait que 0,53% incorrecte. Pour la construction des structures et pour l'arpentage de la terre ces chiffres sont suffisamment prÃÂécis. C'est alors que les grecques sont premiÃÂèrs àvouloir poursuivre des recherches sur ce nombres si special, si inconnu et si utile pour en decouvrir l'origine.
Donc vers 430 av. J.-C. deux mathÃÂématiciens grecs, Antiphon et Bryson expriment clairement le principe d'ÃÂépuisement: Si on a un cercle, il est possible de faire une approximation de la circonfÃÂérence en divisant le cercle en polygones. Quand on a trouvÃÂé la longueur du circonfÃÂérence et du diamÃÂètre on peut calculer le valeur de π. Par exemple: Nous avons dessinÃÂé un hexagone pour faire une approximation du cercle. Il est ÃÂévident que si chaque cotÃÂé de l'hexagone a une longueur de x cm donc le pÃÂérimÃÂètre de cet hexagone est 6x, et nous pouvons faire l'approximation de la circonfÃÂérence du cercle à6x. En divisant ce chiffre par le diamÃÂètre de 2x on trouve que π = 3. Si on utilise un octogone, l'approximation sera plus prÃÂécise, et si on utilise un dodÃÂécagone l'approximation sera encore plus prÃÂécis, etc.
Dans le 3ÃÂème siÃÂècle av. J.-C. ArchimÃÂède a utilisÃÂé un polygone avec 96 cÃÂôtÃÂés pour dÃÂéterminer que π ÃÂétait supÃÂérieur à223/71 mais inferieur à22/7.
En 1220 Fibonacci utilise π = 3138677/999000.
En 1593 ViÃÂète dÃÂécouvre le premier produit infini pour exprimer π.
En 1596 Van Ceulen utilise un polygone de 32 billions de cÃÂôtÃÂés pour calculer les premiÃÂères 32 dÃÂécimales de π. 14 ans plus tard il a 35 dÃÂécimales àson nom. Quand il est mort ces chiffres sont inscrite sur sa tombe. Malheureusement pour Van Ceulen, seulement 11 ans aprÃÂès son mort Snell, un mathÃÂématicien hollandais a trouvÃÂé une maniÃÂère de calculer π encore plus rapide. Il a simplement utilise deux polygones au lieu d'un: Bien que Antiphon et Bryson aient dÃÂéjàessayÃÂé de calculer π de cette maniÃÂère, Snell ÃÂétait le premier qui a eu rÃÂéussite avec ce principe.
En 1655, Wallis a decouvent son cÃÂélÃÂèbre produit infini pour dÃÂériver π : La formule de Wallis: Bienque, ViÃÂète soit le premier mathematicien qui avait decouvent un produit infini: Wallis ÃÂétait le premier àtrouver un produit infini pour exprimer pi sans rÃÂéutiliser pi dans la formule.
Touts ces formulas sont pratiquement inutilisables avec les techniques de l'ÃÂépoque; aujourd'hui nous possÃÂédons les moyens trÃÂès avancÃÂé comme les ordinateurs pour ÃÂévaluer efficacement la valeur de π. Par exemple les premiÃÂères 500 multiplications de la formula de Wallis donnent seulement deux dÃÂécimales correctes. Mais quand les mathÃÂématiciens commence àutiliser des ordinateurs et apprendre ÃÂá ÃÂêtre informaticiens, ils commencent àcalculer les dÃÂécimales de pi trÃÂès rapidement. Le nombre actuel de dÃÂécimales de π est environs 52 billions mais l'observation prochaine nous demande pourquoi telle extrÃÂême prÃÂécision est nÃÂécessaire? 39 dÃÂécimales de π sufficent pour calculer la circonfÃÂérence d'un cercle qui encerclerait l'univers connu avec seulement une erreur de l'ordre d'un rayon d'atome d'hydrogÃÂène.
Peut-ÃÂêtre une des rÃÂéponses a cette question est que le fait que l'on peut utiliser l'expression dÃÂécimale de pi pour verifier la vitesse d'un ordinateur. Pour moi, le problÃÂème avec cette rÃÂéponse est que ÃÂça fait seulement soixante ans que les ordinateurs ont ÃÂétÃÂé inventÃÂé et que la recherche pour le vrai valeur de π est encore plus loin que ÃÂça! Donc, pour ces mathÃÂématiciens d'avant la revolution des ordinateurs, la response est moins sur la calculation en elle-mÃÂême mais plus sur le savoir et la comprÃÂéhension du mystÃÂère de ce numÃÂéro. J'aime l'analogie de la quÃÂête pour la valeur de pi avec la montÃÂée de l'Everest: On le fait parce qu'il existe! Le preuve de Lambert que pi soit irrationnel Pendant des siecles, les mathÃÂématiciens ont supposÃÂé que pi ÃÂétait irrationnel, mais ils faut attendre jusqu'en 1761 pourvu que Lambert fasse une preuve plus rigoureuse. Sa dÃÂémarche peut ÃÂêtre resumÃÂé en quelques ÃÂétapes: 1 Il a demontrÃÂé que si x serait rationnel alors tan x (tangent ix) est irrationnel.
2 Le contra-positive de cette formulation est : si tan x ÃÂétait rationnel alors x serait irrationnel.
3 tan(π/4) est rationnel, donc π/4 doit ÃÂêtre irrationel et en consÃÂéquence π est irrationnel.
Quelques mathÃÂématiciens n'ÃÂétaient pas content avec cette preuve, mais en 1794 Legendre a formulÃÂé une autre preuve plus rigoureuse. Il a aussi demontrÃÂé que π2 (pi carrÃÂé) ÃÂêtre rationnel. Mais si vous voulez un challenge, il y a toujours quelques numÃÂéros reste àprouver qu'ils sont rationnel, comme 2π, π + e et πe Le prochain pas qu'il faut faire c'est de dÃÂémontrer que pi n'est pas ÃÂêtre algÃÂébrique. Un nomÃÂéro algÃÂébrique est un numÃÂéro qui peut ÃÂêtre exprimÃÂé par un ÃÂéquation polynomiale avec des coÃÂéfficients entiers. Par exemple la racine carrÃÂé de deux est algÃÂébrique parce qu'on peut exprimer la racine carrÃÂé de deux par l'equation Aussi tous les numÃÂéros rationnels sont algÃÂébriques parce qu'on peut les exprimer par le rapport de a sur b, dans l'ÃÂéquation NÃÂéanmoins, pi n'ÃÂétait pas algebrique mais on le dit transcendental. La preuve de ceci ÃÂétait demontrÃÂé par Lindemann en 1882, et il peut ÃÂêtre resumÃÂé comme ÃÂça: 1 En 1873 Hermite, a demontrÃÂé que le chiffre 2.71828"æ (autrement appelÃÂé e) est transcendental. ÃÂâ¡a veut dire que il n'y a aucune ÃÂéquation ou les coefficients a,b,"æ et leurs puissances l,m,"æ sont des numÃÂéros rationels.
2 Puis Lindemann a formulÃÂé un preuve plus gÃÂénÃÂérale que celle de Hermite. Il a demontrÃÂé que en effet, les coefficients a,b,"æ et leurs puissances l,m,"æ ne sont pas algebriques.
3 Euler a dÃÂéjàÃÂétabli l'ÃÂéquation cÃÂélÃÂèbre 4 Mais si on regarde cet equation avec plus attention on vais voir qu'il est un type de equation (A). Il faut seulement mettre a=1, l=iπ, b=1 et m=0.
5 Selon Lindemann les puissances l,m,"æ ne sont pas algebriques, donc l=iπ n'est pas algebrique.
6 Comme i est la racine carrÃÂée de ""1 on le peut exprimer comme l'ÃÂéquation Donc i ÃÂétait algebrique et pi ne peut pas ÃÂêtre algebrique, donc pi est transendental.